n阶行列式的展开式中每项是元素的乘积。由不同行不同列的元素相乘，且各行各列都有一个元素。取这些元素时可以固定从第一行开始取，则列下标就是1~n的任意一种排列，共有n！种， 所以n阶行列式的展开式共n！项。
定义1 n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的
代数和，这里 是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当 是偶
排列时带有正号，当 是奇排列时带有负号。这一定义可写成
这里 表示对所有n级排列求和，
表示排列 的逆序数。由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。
拓展资料：
n阶行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变。
性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。
性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。
性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为 ，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为 ，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
Τ τ，是希腊的第十九个字母，美国英语是Tau，国际音标/tau/。下面是全部希腊字母
Α α，音名ἄλφα，希腊语字母名称叫做/ˈalfa/，美国英语叫做alpha(国际音标/'ælfə/)，alpha常用作形容词，以显示某件事物中最重要或最初的。
Β β，音名βῆτα，希腊语字母名称叫做/vita/，美国英语叫做beta(国际音标/'betə/)，beta也能表示电脑软件的测试版，通常指的是公开测试版，提供一般使用者协助测试并回报问题。
Γ γ，希腊字母名称叫/'gæmə/，美国的英语叫做gamma(国际音标/'gæmə/)。
Δ δ，希腊字母名称叫/ˈdɛltə/，美国的英语叫做delta(国际音标/ˈdeltə/)。
Ε ε，希腊语是 ἒ ψιλόν，意思是“简单的 e”。美国英语叫做epsilon(国际音标/'ɛpsələn/)。
Ζ ζ。希腊语字母名称叫做/zita/，美国英语叫做zeta(国际音标/'zetə/)。
Η η，音名ῆτα，希腊语字母名称叫做/ˈita/，美国英语叫做eta(国际音标/itæ/)。
Θ θ，音名θῆτα，希腊语字母名称叫做/ˈθita/，美国英语叫做theta(国际音标/'θitə/)。
Ι ι ℩，美国英语叫做iota(国际音标/aɪ'otə/)，有时用来表示微细的差别。
Κ κ，音名κάππα，希腊语字母名称叫做/ˈkapa/，美国英语叫做kappa(国际音标/'kæpə/)。
Λ λ，音名λάμβδα，希腊语字母名称叫做/ˈlamea/，美国英语叫做lambda(国际音标/'læmdə/)。
Μ μ，音名μῦ，希腊语字母名称叫做/mi/，美国英语叫做mu(国际音标/mju/)。
Ν ν，音名νῦ，希腊语字母名称叫做/ni/，美国英语叫做nu(国际音标/nu/)。
Ξ ξ，音名ξῖ，希腊语字母名称叫做/ksi/，美国英语叫做xi(国际音标/ksaɪ/)。
Ο ο，Omicron(国际音标/'ɑmɪ,krɑn/)字面上的意思是“小的 O”（ὄμικρόν），以便与ω“ὦμέγα，大 O”区别，与美国英语元音字母o相似。
Π π，音名πῖ，希腊语字母名称叫做/pi/，美国英语叫做pi(国际音标/paɪ/)。
Ρ ρ，美国英语叫做rho(国际音标/ro/)。
Σ σ ς，音名σῖγμα，在希腊语中，如果一个单词的最末一个字母是小写σ，要把该字母写成 ς，美国英语叫做sigma(国际音标/'sɪgmə/)。
Τ τ，是希腊的第十九个字母，美国英语是Tau，国际音标/tau/。
Υ υ，希腊语是υ ψιλόν，英文中为Upsilon ，国际音标[ju:p′sailən]/[′ju:sailən] ，意思是“简单的 u”。
Φ φ，希腊小写字母φ，左上角的弯是开口的；而用作符号时，通常会写作ф，变了一个缩小了的大写Φ的形状，美国英语叫做phi(国际音标/faɪ/)。
Χ χ，美国英语叫做chi，是辅音字母，发清软颚擦音，即美国英语中loch(国际音标/lɑk/)中ch的发音。
Ψ ψ，美国英语叫做psi(国际音标/psai/)，希腊语字母名称叫做/psi/，是辅音字母，发/ps/音。意为神秘的、未知的。
Ω ω，Omega字面上的意思是“大 O”（ὦμέγα），以便与字母 ο“ὄμικρόν，小 O”区别。美国英语叫做omega(国际音标/omiga/)，用作指事情的终结，对应指开始的alpha。
四阶行列式的完全展开式共有24项！过程如下：
1、四阶行列式展开，共有4个不同的三阶行列式；
2、按【行列式展开定理】,4阶行列式展开成低一阶的三阶行列式时,有四个分行列式；继续【展开】下去,每个3阶行列式可以【展】成3个2阶行列式；每个2阶行列式可以【展】成2项.所以全部展开后共有 4!=24项——和定义描述的相同!D4=a11A11+a12A12+a13A13+a14A14=a11M11-a12M12+a13M13-a14M14
拓展资料：
1、按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为
，它的展开式为ad-bc。
九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为
，它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1。
2、行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
参考资料来源：百度百科：n阶行列式